7月中旬小程序开发，朗兰兹提要中永恒以来缺失的拼图——几何朗兰兹预见终于获证。完好意思评释注解有9位数学家参与其中，历时30年之久，合计5篇800余页论文。

朗兰兹提要是20世纪最热切的数学“舆图”，被称为“数学界的大一统表面”。其涵盖的内容极其博大，不乏真义真义的历史细节和数学想想。比如说，岂论是朗兰兹提要，照旧用于评释注解几何朗兰兹预见的中枢用具，灵感都备萌发自归拢时期的两处监狱之中；同期，朗兰兹提要的提倡还和数学史上最闻名的两封信平直关连。目前，这一为不同规模架起“桥梁”的迷东说念专揽论，离竣事又近了一大步。

撰文 | 嘉伟

罗伯特·朗兰兹 | 图源：Robert Langlands - Wikipedia

1996年，菲尔兹奖得主恩里科·邦别里（Enrico Bombieri）在朗兰兹会议——贺罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）60岁寿诞上发言：“数学家们照旧沿着朗兰兹的想路责任了25年，越来越多的凭据评释事情正按他所说的那样发展，他成为了数学前进的推能源。”

“他所说的那样”即是指20世纪最热切的数学“舆图”——朗兰兹提要（Langlands program）。加州大学伯克利分校的数学锤真金不怕火、闻名数学家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）平直称其为“雄壮的数学大一统表面”。就如同表面物理中“大一统表面之梦”意欲把已知的四种基本力调和到一个框架里相同，朗兰兹提要提倡了一个深刻而刚劲的表面框架，应用代数方程精准解的高阶履行，波及数学最基本的规模，并将解析函数镶嵌几何格式中。它使得许多相距甚远的数学规模能够调和到一个刚劲的解析枢纽格式中。

从一驱动，投身其中的数学家就明白，对朗兰兹提要的评释注解不可能一蹴而就，只可一步一个脚印，少许少许地去糟蹋，关于统统提要的评释注解也许需要好几代东说念主的勉力，但只消镂刻把握，他们敬佩，但愿就在咫尺。到今天，勉力的申诉已然特地丰厚。2024年7月中旬，提要中永恒以来缺失的拼图——几何朗兰兹预见——终于获证。完好意思评释注解有9位数学家参与其中，历时30年之久，包括5篇大论文，合计800余页。

这是漂泊数学界的重要新闻，或者是2024年度最为热切的数学糟蹋。想必许多读者早已看过关连报说念。有几家媒体也翻译了Quanta Magazine上报说念此事的精彩著述“Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture”。可是，因为朗兰兹提要涵盖的内容极其博大，不错从许多不同的角度来申诉和意会，是以现存著述险些都错过了不少真义真义的历史细节和数学想想。比如说，岂论是朗兰兹提要，照旧用于评释注解几何朗兰兹预见的中枢用具，灵感都备萌发自归拢时期的两处监狱之中；同期，朗兰兹提要的提倡还和数学史上最闻名的两封信平直关连。

兄妹的狱中通讯

其一就是法国最闻名的一双知识分子兄妹的狱中通讯。

曾有东说念主向形而上学家西蒙娜·韦伊发问：惟有傻瓜才会坠入爱河，对不合？

西蒙娜回答说念：莫得任何存在之物是透顶值得咱们去爱的。因此，咱们必须去爱那些不存在之物。

安德烈·韦伊是大卫·希尔伯特之后，统统数学界的领航者之一。| 图源：André Weil - Wikipedia

1940年，安德烈·韦伊（André Weil）在法国鲁昂的一所监狱里写下了20世纪数学界最热切的信件之一。他因隔断入伍而获刑，在狱中他与住在伦敦的妹妹通讯，以掌合手彼此的现状。

安德烈·韦伊树立于巴黎，西蒙娜·韦伊是他的妹妹，亦然他惟一的昆季姐妹。自后，哥哥成为20世纪最伟大的数学家之一，妹妹则成为闻名且在现代愈发有影响力的形而上学家和政事作为家。

在之前的一封信中，西蒙娜曾条目哥哥向她先容一下他最近的计算内容。炮火连天下，安德烈留心翼翼地写下了覆信，他“教化”妹妹：“你将对接下来的事情一无所知”。在接下来的14页中，他勾画了数学“罗塞塔石碑”的想想。闻名的罗塞塔石碑用三种言语纪录了归拢内容，这使得历史学家和言语学家通过其上的古希腊翰墨，破译了照旧断了传承的古埃及翰墨。韦伊的“罗塞塔石碑”则将数学的三大规模接洽起来：数论、几何学，以及中间的有限域。

其他数学家也提倡过访佛的宗旨，但韦伊是第一个进展简直愿景的东说念主。他的信启发了自后的朗兰兹提要。

13岁的西蒙娜。这张像片是在全家去比利时度假期间拍摄的，她在那处和哥哥特地振奋。|图源：Simone Weil - Wikipedia

在写给妹妹的信中，韦伊宣称“与数域的类比是如斯严格和清爽，以至于在算术中，莫得一个论点和终结弗成险些一字一句地翻译到函数[或有限]域上”。不外，多项式不错在有限域上暗示和判辨是一趟事，但将复分析的全部机制导入有限域则是另一趟事。关联词他自信地断言，“各别还不大，以至于耐烦的计算不错教会咱们从一个规模转机到另一规模的艺术。

那是在1940年。在接下来的十年里，韦伊设备了精准的枢纽，破译了他的数学“罗塞塔石碑”的大片区域。他还对数论和几何之间的关系提倡了一系列预见。其中最踊跃的是黎曼预见的有限域版块。韦伊本东说念主评释注解了一维的情况。

第二封信

若是用武侠演义来类比数学界，那么即便在顶尖妙手里，韦伊的武功之高强也属骇东说念主视听。岂论是何等抽象、复杂的“火器”（表面），他都能信手拈来，绝不繁忙。亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）被誉为是代数几何学的教皇，而他那时设备的代数几何学的表面用具，主要就是为了给韦伊提供武器去攻克黎曼预见！格罗滕迪克那时发掘了名为“层”（Sheaves）的数学结构的后劲，而应用迥殊的层结构则是本年评释注解几何朗兰兹预见的流毒。

此外，东说念主访佛乎突出心爱排行，即就是数学家也弗成免俗。这里再共享一则韦伊的趣事：

在1950年代，芝加哥大学数学系举办了一场圣诞派对。许多闻名的数学家出席了，包括安德烈·韦伊。为了文娱，世东说念主试图列出十位最伟大的辞世数学家，但弗成包括在场的东说念主。关联词，韦伊对持条目把我方列入候选边界。

自后，韦伊搬到了普林斯顿的高档计算院（IAS）。在1970年代中期，一位普林斯顿大学的计算生问他谁是二十世纪最伟大的数学家，他绝不彷徨地回答：“卡尔·路德维希·西格尔（Carl Ludwig Siegel）。”当被问到谁是本世纪第二伟大的数学家时，他只是含笑着，在他的翻领上擦了擦指甲。（出自Michael Harris’s “Mathematics without apologies”）

这位二十世纪最伟大的数学家（之一）到达普林斯顿不久，就收到了一封17页的手写信件，寄信东说念主恰是30岁的普林斯顿大学锤真金不怕火罗伯特·朗兰兹。

1967年1月，朗兰兹在普林斯顿大学时，给安德烈·韦伊写了一封17页的手写信，详细了自后被称为“朗兰兹提要”的内容。即使在今天，这封信也值得仔细阅读，尽管按照目前的规范，它的象征有些顽劣。| 图源：普林斯顿高档计算院档案，Letter to André Weil | publications.ias.edu

信中以为，按照韦伊的“数学罗塞塔”的想想，数论和有限域上的多项式，不错通过一种履行的傅里叶分析，设备起特地刚劲和边界惊东说念主的接洽！

在经典的傅里叶分析中，名为傅里叶变换的历程在两种不同的解析容貌之间设备起了对应关系。对应关系的一侧是波，贵阳小程序开发复杂的波不外是正弦波的组合。对应关系的另一端是正弦波的频率频谱——在声学风物里即它们的音高。

傅里叶变换允许双方来去转机。在一个方朝上，它允许咱们将波判辨为一组频率；另一方面，它匡助咱们由频率重建波。莫得傅里叶变换，咱们就不会有现代电信、信号处理、磁共振成像等许多现代生计必需品。

方波的傅里叶级数，波与频谱之间的对应关系。| 图源：Seugwon Park，illustr

朗兰兹提倡，在数论和函数域里，也能构造访佛的傅里叶变换，但此时的“波”和“频率”愈加抽象和复杂。

构建对应

在数论里履行傅里叶变换，波与频率分属迥然相异的规模，而设备起它们的对应关系，通常会带来丰厚的申诉。在1990年代，当相识到椭圆弧线和模格式之间存在对应关系之后，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）评释注解了费马大定理。而朗兰兹提要所描写的景致愈加高打开阔，咱们难以假想当它完成之时，到底能成绩几许申诉。

从另一个角度来说，尽管数论版的朗兰兹提要高明莫测，但仍旧根源于古典数论的基本问题，即三千年前的数学前驱就已驱动想考的、代数方程的挑升会和整数解。更简直点说，它不错看作是二次互反律的履行。素数十分于傅里叶变换里的频谱。

可是，要奈何把几何纳入到这一框架里呢？关于紧致的黎曼曲面，最中枢的几何/拓扑特征是它上头的洞。

在数学科普里，有一反复使用的知识性示例：咖啡杯和甜甜圈在拓扑学里其实是疏通（同胚）的东西。因为它们都惟有一个洞。若是你无法假想的话，底下就有咖啡杯平滑变形为甜甜圈的历程。

这组陶瓷模子由卡内基梅隆大学的Keenan Crane和俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman亲手烧制而成。| 图源：Keenan Crane & Henry Segerman

是以任何用于描摹黎曼曲面的频谱，都需要包含这些骨子结构的信息。合理揣度，信息应该以名为基本群的代数拓扑学宗旨的格式被索取出来。

可是，在很长一段时辰里，数学家都无法假想奈何构造基本群的特征函数（十分于经典傅里叶变换里的正弦函数）。就连朗兰兹当先描写他的提要时，几何部分都未包含在内。

直到20世纪80年代，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）才相识到，通过将特征函数替换为特征层（eigensheaf），有可能构建一个几何版块的朗兰兹对应关系。而几何朗兰兹预见的精准表述直到本世纪才出现——2012年，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与迪玛·阿林金（Dima Arinkin）协调，通过一篇长达150多页的论文给出了这一表述。

在经典信号处理规模，声波不错由正弦波组成，其频率对应于声息的音高。只是知说念声息包含哪些音高是不够的，还需要了解每个音高的响度。这些信息允许工程师将声息暗示为正弦波的组合：从振幅为1的正弦波驱动，再乘以相宜的响度因子，然后将这些正弦波相加。统统这些振幅为1的不同正弦波之和就是所谓的“白噪声”。

在几何朗兰兹预见中，特征层的作用访佛于正弦波，但平直用它充任黎曼曲面的特征函数，则特地之难。亏得几位协调者又识别出一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，已知其可转机为特征函数。若是它能充任几何学里的“白噪声”，则大事结束。关联词，这些计算者不细目是否不错将每个特征层都暗示为庞加莱层——就像把弦波判辨成白噪声之和，更不细目后者是否具有疏通的“振幅”。这就是临了需要评释注解的东西。

樊笼里的光

特征层和庞加莱层，都是之前说起的层宗旨的特例。并且，层的提倡适值和韦伊在狱中构想“数学罗塞塔”是归拢时辰。

安德烈·韦伊在他的自传中提到，他在监狱中的履历对他的数学计算产生了潜入的影响……

监狱中的孤单环境使他的想维变得突出清爽。在狱中莫得外界的插手，能够专注于数学问题的想考和惩处。这种环境促使他在数学计算上取得了重要糟蹋。他自后半开打趣地说，监狱是数学家最佳的计算环境。

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1940年，法国应用数学家和炮兵军官让·勒雷（Jean Leray）的履历，似乎佐证了韦伊对监狱的意会。

他被德国东说念主俘虏后告诉审讯者，我方是别称拓扑学家，因为挂念若是德国东说念主发现了他真实的专科规模——流体能源学，会将就他为德国的干戈机器做事。在他被幽囚的近5年时辰里，勒雷通过进行拓扑学计算来安祥我方的东说念主设。拓扑学是计算可变形格式的数学分支。他最终创造了现代数学中最具创新性的宗旨之一：层（sheaves）的宗旨。

塞尔（Jean-Pierre.Serre）闻名的论文Faisceaux Algébriques Cohérents展示了奈何使用层来给代数簇提供一个通用界说（通过使用层将称为仿射簇的浅薄几何对象拼接在通盘），以及奈何将代数几何中的经典想想再行解释为层的上同调。塞尔的责任引发了格罗滕迪克的层表面枢纽，使之成为代数几何更基础的有计算。

从格罗滕迪克驱动，数学家逐步相识到，层的逼近与函数的逼近有许多共同点，但复杂进程更高。咱们不错对层进行相加和相乘运算，以至不错对它们进行迥殊的微积分运算。

在监狱里，勒雷打开了通往数学新寰宇的大门。

趁机说一句，勒雷在战俘营里还发明了谱序列，这是一种特地复杂但刚劲到险些难以置信的用具。谱序列在许广泛学规模中都至关热切，包括代数几何、代数拓扑和同调代数。关于一个为了幸免被德国东说念主运用其才智而宣称我方是纯数学家的东说念主来说，这效果并不算太差。

浅薄点说，层是用于获取“局部”信息并稽查是否不错将这些局部信息粘合在通盘以得到“全局”信息的用具。防止咱们粘合信息的“力量”会指点咱们插手所谓的层的上同调，这是代数几何和复分析的中枢内容。

笔者从印度数学家Y.V. Srinivas那处学来了用子图着色来意会“层”的直不雅容貌。读者不错连络底下的例子，来意会什么是“获取局部信息并稽查是否不错将这些局部信息粘合在通盘以得到全局信息”。

接洽一个图的统统着色。假定咱们用一组子图（可能重迭）笼罩这个图。统统图的着色不错限度为每个子图的着色。反过来，假定咱们用着色有计算C(S)为每个子图S着色。若是两个子图重迭，咱们条目它们在重迭部分的着色一致。也就是说，假定一个极点V同期出目前子图S和子图T中，那么有计算C(S)和C(T)必须为V点选拔疏通的情绪。在这种情况下，咱们不错将统统子图的着色粘合在通盘，得到统统图的着色。这就是把局部信息粘合成在通盘的历程。

重建巴别塔

我躺在床上想考了三个月。

——丹尼斯·盖茨戈里

Dennis Gaitsgory（左）和 Sam Raskin（右）带领的九东说念主团队评释注解了几何朗兰兹预见。| 图源：Natasha Bershadsky; Charlotte Krontiris

2020年各人疫情暴发，或者挫折期间的情景和入狱有几分访佛。丹尼斯·盖茨戈里躺在床上想考了三个月。他琢磨出来的表面，为临了的评释注解埋下了但愿的种子。

旧年，几何朗兰兹项计算另一位带领者山姆·拉斯金（Sam Raskin）在履历了妻子左近预产期的昆季无措之后，终于与几位计算者聚在通盘，鸠集了几东说念主的聪敏，攻克了临了一说念难关。

几何朗兰兹预见临了一篇论文的7位合著者。上头四东说念主中左二为陈麟，清华大学丘成桐数学科学中心助理锤真金不怕火。| 图源：Giancarlo Rado; Yau Mathematical Science Center; Wyatt Reeves; Diana Tyszko; Lisa Smith; Jean Lachat; Alex Arinkin

如同前文所述，朗兰兹提要最迷东说念主之处就是为不同规模设备起桥梁。如今几位协调者正在尝试将他们的几何终结再翻译到函数域上，传奇照旧取得了进展。若是胜利，将评释注解函数域版块的朗兰兹预见比数学家之前知说念以至揣度的还要精密得多。

目前，数学界需要时辰渐渐消化几何朗兰兹预见的评释注解。同期，数学寰宇的开拓者们正一步一个脚印，平缓但坚硬地把朗兰兹的形而上学转机为一个个数学定理。

参考贵寓

[1] Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture | Quanta Magazine

[2]“God does not algebra”: Simone Weil’s search for a supernatural reformulation of mathematics. DOI:10.25180/lj.v25i2.340

[3]A Rosetta Stone for Mathematics | Quanta Magazine

[4]数学家和形而上学家：兄妹的故事 – The Irish Times

[5]《代数数论简史》，冯克勤，湖南耕作出书社

[6]A Very Elementary Introduction to Sheaves (arxiv.org)

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